今回のテーマは、四分位数です。
「四分位数」ということばは、平均値などとは違って、なかなか日常生活では聞き慣れないことばだと思います。
しかし、統計検定３級でもかなり頻出のテーマであり、また統計学の基礎として重要な範囲でもあります。
なので、まずは今回ご紹介する四分位数、四分位範囲、四分位偏差とは一体何に使われるものなのかを説明します。
四分位数、四分位範囲、四分位偏差の意義
詳しくは後ほど説明しますが、
四分位数が分かることで、四分位範囲と四分位偏差を求めることが可能になります。
四分位範囲は、その範囲にデータの半分が含まれているということを示す「ばらつきの指標」の一種です。
また四分位偏差は、偏差と言う位なので、こちらもデータのばらつき具合を示す指標の一つです。
分散や標準偏差、平均偏差など、データのばらつきを示す指標はほかにもありますが、
その中でも四分位範囲、四分位偏差を利用するメリットとしては、
外れ値の影響を受けにくい指標であるという点です。
このように、四分位数を求めることは最終的に、
データのばらつきや偏りの度合いを把握することにつながっていく
ということですね。
また、四分位数は、箱ひげ図を作成するときにも利用される値です。
箱ひげ図についてはまた別の記事で解説しますが、簡単にいうと、データのばらつきを可視化するためのグラフのことです。
それでは、それぞれの語について説明していきます。
四分位数とは？
四分位数(しぶんいすう)は、データを大きさ順に並べた時に、データを4等分する値のことです。
その4等分する値を小さい方から順番に、
- 第一四分位数（＝小さい方から25%の位置）
- 第二四分位数(＝中央値)（＝小さい方から50%の位置）
- 第三四分位数（＝小さい方から75%の位置）
と呼びます。
英語では四分位数のことをQuartileと言うため、その頭文字をとって、それぞれ第一四分位数をQ1、第二四分位数をQ2、第三四分位数をQ3と表すこともあります。
また、カッコで書いた通り、第二四分位数は中央値と同意です。
第二四分位数は、データを4等分したうちの2つ目の区切りを指しているので、2/4=1/2で中央値と同意だと言えるのです。
たとえば、
10,20,30,40,50
というデータがあった時、
データの範囲は、最小値と最大値をとって
10〜50となります。
10〜50の間は、50 - 10 = 40 ですので、
4等分するには 40 ÷ 4 = 10 で、
10ずつ区切ればいいということが分かります。
つまり、この場合、
- 第一四分位数は20
- 第二四分位数(中央値)は30
- 第三四分位数は40
となります。
四分位範囲
冒頭で、四分位範囲はその範囲にデータの半分が含まれている、ということを示す「ばらつきの指標」の一種と述べました。
これをより具体的にいうと、第一四分位数から第三四分位数までの範囲のことを指します。
つまり、「第三四分位数 − 第一四分位数」で求めることができます。
先ほどの例でいうと、
第三四分位数は40、第一四分位数は20だったので、
40 - 20 = 20
ということで、四分位範囲は20であることが分かりました。
この四分位範囲では
- 大きければ大きいほど、データのばらつきが大きい
- 小さければ小さいほど、データのばらつきが小さい
ということがいえるのです。
データの範囲自体は、最大値から最小値を求めれば出すことができますが、
もしその中に、一つだけとびぬけて大きいデータが含まれていたら、その影響を大きく受けますよね。
たとえば、
１，２，３，４，５，６，７，８，１００ というデータがあったとします。
明らかに100は外れ値ですよね。
この場合、
普通に「最大値－最小値」でデータの範囲を求めると
１００ － １ ＝ ９９ となります。
ほとんどは8以下なのに、９９になってしまうと、
データ全体の特徴をうまく表現しているとはいえないと思います。
そこで四分位範囲の出番です！
同じデータについて四分位範囲を求めると、以下のように、四分位範囲は４となります。
このように、外れ値がある場合のばらつきを表す指標として四分位範囲は有効です。
四分位偏差
四分位偏差は、データのばらつき具合を示す指標です。
求め方としては、（第三四分位数 － 第一四分位数） ÷ ２ です。
つまり、四分位範囲 ÷ ２ ですね。
読み取り方についても、四分位範囲と同様で以下のようなことがいえます。
- 大きければ大きいほど、ばらつきが大きい
- 小さければ小さいほど、データのばらつきが小さい
これだけ聞くと、
「四分位範囲でいいじゃん！」
「なんで2で割ったの！？」
と思う方もおられるかもしれません。
「四分位範囲」はQ3－Q1です。
この「四分位範囲」 を ２で割ると、その値がQ2（中央値と比べてどの程度差があるのかを確認することが出来るようになります。
この点が、四分位範囲との違いです。
とはいえ、四分位偏差は四分位範囲ほどスタンダードな指標ではないため、「四分位偏差を求めよ！という問題があったときのために求め方を知っておく」くらいの認識でよいかと思います。
まとめ
四分位数を求めることで、四分位範囲や四分位偏差などの外れ値に近いばらつきの指標を求めることができるようになります。
また、四分位数は、箱ひげ図というばらつきの指標を表したグラフを作成するときに必要となる値です。
全体の散らばり具合を知りたいとき→分散、標準偏差
外れ値が含まれているデータのばらつきを見たいとき→四分位範囲、四分位偏差
といったように、目的に応じて指標を使い分けていきましょう！
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